Tìm giá trị riêng của ma trận

• Các nghiệm thực của đa thức đa thức đặc thù PA(λ) hotline là quý giá riêng của ma trận

A.

• Nếu λ0 là 1 trong những quý giá riêng biệt của A thì det(A − λ0I) = 0. Do kia hệ pmùi hương trình thuần hất:




You watching: Tìm giá trị riêng của ma trận

*
10 trang
*
haha99
*
*
2518
*
0Download


See more: Độ Nổi Tiếng Của Các Thành Viên Bts, Xếp Hạng Tranh Cãi Về

quý khách sẽ coi tư liệu "Bài 16. Vectơ riêng rẽ - Giá trị riêng biệt của ma trận với của phép biến hóa con đường tính - Chéo hóa", để cài tài liệu gốc về trang bị bạn click vào nút DOWNLOAD nghỉ ngơi trên


See more: So Sánh Lưới Nội Chất Hạt Và Lưới Nội Chất Trơn ? So Sánh Lưới Nội Chất Hạt Và Lưới Nội Chất Trơn

ĐẠI SỐ CƠ BẢN(ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC)Bài 16. Vectơ riêng biệt - Giá trị riêng rẽ của ma trậnvới của phép đổi khác tuyến tính - Chéo hóaPGS TS Mỵ Vinh QuangNgày 28 mon 2 năm 20061 Vectơ riêng biệt - Giá trị riêng rẽ của ma trận1.1 Các định nghĩa cơ bảnCho A là ma trận vuông cấp cho n, (A ∈Mn(R))a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n....... . ....an1 an2 . . . annkhi đó• Đa thức bậc n của thay đổi λ:PA(λ) = det(A− λI) =∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 − λ a12 . . . a1na21 a22 − λ . . . a2n....... . ....an1 an2 . . . ann − λ∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (−1)nλn + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ1 + a0call là đa thức đặc thù của ma trận A.• Các nghiệm thực của nhiều thức nhiều thức đặc thù PA(λ) Gọi là quý hiếm riêng của ma trậnA.• Nếu λ0 là một trong quý giá riêng rẽ của A thì det(A − λ0I) = 0. Do kia hệ phương trình thuầnnhất:(A− λ0I) x1...xn = 0...0 (1)1bao gồm vô vàn nghiệm. Không gian nghiệm của hệ (1) Gọi là không gian nhỏ riêng rẽ của ma trậnA ứng với giá trị riêng rẽ λ0. Các vectơ khác ko là nghiệm của hệ (1) điện thoại tư vấn là các vectơriêng của ma trận A ứng với giá trị riêng λ0. Các vectơ tạo thành một cửa hàng của khônggian riêng biệt (có nghĩa là các vectơ tạo nên thành hệ nghiệm cơ bạn dạng của hệ (1)) Hotline là các vectơ riêngtự do tuyến đường tính ứng với giá trị riêng rẽ λ0.1.2 Ví dụTìm đa thức đặc trưng, vectơ riêng rẽ, cực hiếm riêng biệt của ma trận:A = 0 1 11 0 11 1 0Giải• Ta có PAλ =∣∣∣∣∣∣−λ 1 11 −λ 11 1 −λ∣∣∣∣∣∣ = −λ3 + 3λ+ 2Vậy nhiều thức đặc thù của ma trận A là PA(λ) = −λ3 + 3λ+ 2• PA(λ) = 0⇔ −λ3 + 3λ+ 2 = 0⇔ (λ+ 1)2(2− λ) = 0⇔ λ = −1 (kép) , λ = 2.Vậy ma trận A bao gồm 2 quý hiếm riêng là λ = −1, λ = 2.• Để tìm vectơ riêng rẽ của A, ta xét hai trường hợp:– Ứng với giá trị riêng biệt λ = −1.Để tìm kiếm vectơ riêng rẽ ứng với cái giá trị riêng λ = −1, ta giải hệ: 1 1 11 1 11 1 1∣∣∣∣∣∣000Hệ gồm rất nhiều nghiệm phụ thuộc vào hai tđam mê số x2, x3. Nghiệm tổng thể của hệ là:x1 = −a− b, x2 = a, x3 = b. Do kia, không khí nhỏ riêng rẽ của A ứng với cái giá trị riêngλ = −1 là V−1 = a, b ∈ R.Các vectơ riêng biệt của A ứng với cái giá trị riêng rẽ λ = −1 là toàn bộ những vectơ gồm dạng:(−a− b, a, b) với a2 + b2 6= 0 (bởi vectơ riêng biệt nên không giống không).Ta bao gồm dimV−1 = 2 và A bao gồm 2 vectơ riêng biệt hòa bình tuyến đường tính ứng với mức giá trị riêngλ = −1 là α1 = (−1, 1, 0), α2 = (−1, 0, 1).– Ứng với giá trị riêng λ = 2.Để tìm kiếm vectơ riêng ứng với cái giá trị riêng rẽ λ = 2, ta giải hệ: −2 1 11 −2 11 1 −2∣∣∣∣∣∣000 −→ 1 1 −21 −2 1−2 1 1∣∣∣∣∣∣000−→ 1 1 −đôi mươi −3 30 −3 3∣∣∣∣∣∣000 −→ 1 1 −đôi mươi −3 30 0 0∣∣∣∣∣∣0002Hệ tất cả rất nhiều nghiệm dựa vào tđắm đuối số x3. Nghiệm tổng quát của hệ là: x1 = a,x2 = a, x3 = a. Do kia, không khí nhỏ riêng của A ứng với giá trị riêng rẽ λ = 2 làV2 = (a, a, a) .Các vectơ riêng rẽ của A ứng với giá trị riêng biệt λ = 2 là tất cả những vectơ gồm dạng:(a, a, a) cùng với a 6= 0.Ta bao gồm dimV2 = 1 và A có một vectơ riêng hòa bình tuyến tính ứng với cái giá trị riêng λ = 2là α3 = (1, 1, 1).Crúc ý rằng, nếu như xét cả nhì ngôi trường thích hợp, A tất cả tất cả 3 vectơ riêng rẽ hòa bình tuyến tính làα1, α2, α3.2 Chéo hóa ma trận2.1 Ma trận đồng dạng• Cho A, B là những ma trận vuông cung cấp n. Ta nói A đồng dạng với B, ký hiệu A ∼ B, nếumãi sau ma trận T vuông cung cấp n, không suy thay đổi làm sao để cho B = T−1AT . Bạn hiểu có thể dễdàng soát sổ rằng tình dục đồng dạng là một trong dục tình tương đương.• Quan hệ đồng dạng bảo toàn khá nhiều những đặc điểm của ma trận, chẳng hạn nếu A ∼ Bthì detA = detB, rankA = rankB, PA(λ) = PB(λ), cực hiếm riêng rẽ của A và B là nhưnhau...2.2 Chéo hóa ma trận• Định nghĩa. Cho A là ma trận vuông cấp cho n.Ta nói ma trận A chéo cánh hóa được trường hợp A đồng dạng với cùng 1 ma trận chéo. Vậy nên matrận A chéo cánh hóa được giả dụ tồn tại ma trận T vuông cấp cho n không suy trở thành làm thế nào để cho T−1ATlà ma trận chéo.Chéo hóa ma trận A tức là tìm kiếm ma trận T vuông cấp n không suy thay đổi làm thế nào cho T−1ATlà ma trận chéo.• Ý nghĩa của bài toán chéo hóa ma trậnNếu ma trận A chéo cánh hóa được thì bài toán nghiên cứu các tính chất (bảo toàn qua quan lại hệđồng dạng) của ma trận A dẫn đến sự việc phân tích những tính chất đó bên trên một ma trậnchéo và như vậy sự việc vẫn trsinh hoạt nên dễ dàng và đơn giản hơn những.Muốn biết ma trận A gồm chéo hóa được hay là không, ta tất cả định lý sau:• Định lý (Điều kiện đề xuất với đủ nhằm một ma trận vuông chéo hóa được)Ma trận A vuông cung cấp n chéo cánh hóa được Khi và chỉ còn khi A gồm đầy đủ n vectơ riêng rẽ tự do tuyếntính, lúc và chỉ khik∑i=1dimVλi = n, trong các số ấy λ1, . . . , λk là toàn bộ những quý giá riêng của A.32.3 Cách chéo hóa một ma trậnCho A là ma trận vuông cấp n. Để chéo cánh hóa ma trận A, ta làm nlỗi sau:Tìm những quý hiếm riêng và những vectơ riêng biệt tự do đường tính của A. khi đó xẩy ra một trongnhị khả năng sau:1. Nếu tổng số vectơ riêng biệt độc lập tuyến đường tính của A nhỏ nhiều hơn n (tức làk∑i=1dimVλi

Chuyên mục: Tin tức